Il Messaggero 14 Marzo 2007


di BENOIT MANDELBROT



Si è soliti pensare ai maghi e alle fate quando un’idea, apparentemente insignificante, si mette improvvisamente a produrre conseguenze impreviste ed importanti.
Per introdurre e far comprendere i frattali, iniziamo col domandarci se un oggetto geometrico può prendere la stessa forma l’istante che lo si esamini da vicino o da lontano. Tale proprietà è stata recentemente battezzata con il termine di auto-similarità. Sembrerebbe trattarsi, detta così, di una perfetta insipidezza, ma è invece il seme di una fioritura di sviluppi che costituiscono una geometria completa.
Insipidezza è il termine appropriato anche per definire la retta e il piano ideale, che sono degli esempi di auto-similarità conosciuti da tutti. Di contro la sfera non è auto-similare perché quando la si guarda da vicino, standogli sopra, appare piatta, mentre da lontano si presenta puntiforme.
Tra il 1875 e il 1925 alcuni matematici perspicaci presero in esame una manciata di rarità, per certi versi dei mostri, oggetti che costoro presentarono come nuovi, che non trovavano riscontri in natura e che, a loro avviso, andavano contro ogni intuizione geometrica. Alcuni di questi oggetti si presentavano auto-similari, qualità che li rendeva più facili da descrivere.
Molto più tardi mi decisi a separarli dalle altre rarità geometriche in questione, per dedicare la mia vita scientifica al loro studio, battezzandoli appunto “frattali”. L’introduzione che segue abbozzerà, per sommi capi, ciascuna delle tre grandi tappe recenti che hanno interessato lo studio dei frattali.
In primo luogo, con sorpresa assoluta e sommo piacere intellettuale della mia vita, ho riconosciuto a questi mostri un ruolo del tutto nuovo. Si era infatti soliti, imprudentemente, qualificarli come “eccezionali”, ma io riuscii a dimostrare che la frattalità, al contrario, non è poi troppo lontana dal costituire la regola in natura e, a secondo dei casi, tale frattalità può interessare sia i dettagli che l’essenza.
Poiché una tale tesi, audace e interdisciplinare, ha provocato sin da subito un’incredulità diffusa, si è reso necessario chiarirla e renderla “naturale”.
Il punto essenziale è che la retta e il piano sono perfettamente lisci, ma di regola, nella realtà le cose sono lontane da questo ideale: non sono lisce, ma rugose sia nel particolare che nell’insieme.
Pensiamo ora all’insieme dei messaggi che riceviamo dai nostri sensi. Quelli della vista e dell’udito, considerati come i sensi più raffinati, sono stati anche i più indagati. Potrebbe darsi, però, che ciò sia avvenuto – parlando in maniera molto relativa – perché erano, di fatto, i più facili da indagare.
Di contro il senso del liscio e del rugoso rimane fuori dall’ambito scientifico appartenendo, piuttosto, al mondo della meccanica pratica e degli ingegneri, che cercano di sbarazzarsi il più possibile degli attriti, senza che, almeno apparentemente, sia possibile tirare fuori da tutto ciò un qualsiasi concetto generale.
Le questioni che poneva la rugosità non erano certo sciocche, ma apparivano inabbordabili ricevendo, di fatto, solo risposte evasive e inadeguate a domande come quelle che seguono:
“Come misurare la rugosità o la volatilità dei movimenti di borsa, al fine di valutare in maniera realistica i rischi finanziari?”
“Come misurare la costa della Bretagna?”
“Come caratterizzare la forma di una costa, di un fiume, di uno spartiacque, di un bacino di raccolta in modo che possa rispondere adeguatamente alle leggi dell’idraulica o a quelle dei sistemi dinamici?”
“Come definire la velocità del vento nel pieno di un uragano?”
“Come misurare e comparare le rugosità di oggetti comuni quali una pietra rotta, una scarpata, una montagna o un pezzo di ferraglia?”
“Qual è la forma di una nuvola, di una fiamma o di una saldatura?”
“Qual è la densità delle galassie nell’universo?”
“Come varia l’attività nella rete di Internet?”
A tutte queste domande (o frammenti di domande) è stata la geometria frattale (a cui è seguita la multifrattale) che ha cominciato a fornire le prime risposte soddisfacenti. Per ogni caso differente, le risposte si fondano sull’osservazione – di per sé stessa sorprendente – che la rugosità finisce per essere il più delle volte frattale. In una molteplicità di casi, siano essi naturali o creazioni dell’uomo (come la Borsa o Internet), la geometria frattale diviene la rampa di lancio della prima teoria del rugoso “semplice”.
Per riassumere - e per placare ogni inquietudine che i frattali potrebbero suscitare – posso dire di aver fatto nascere questa nuova geometria dall’unione tra una certa matematica esoterica e il più grossolano dei nostri sensi. Insomma si tratta di una realtà che è stabile, cresce, s’impone, avendo sempre a sua disposizione questioni da poter trattare, abbracciando di fatto tutti i miei lavori scientifici.
Questa geometria porta con sé un secondo elemento di stupore assoluto, questa volta di natura estetica. Le nuove immagini frattali, infatti, frutto senza nome di un centro informatico con il quale avevo cominciato a collaborare, furono sempre più percepite come belle o quantomeno altamente decorative. Insomma, l’insieme di Mandelbrot tocca inevitabilmente lo spirito. Ecco così che una formula antica, apparentemente di un’assoluta insipidezza, si rivela capace di dare vita ad immagini fantastiche che è ormai possibile vedere ovunque al punto tale che ormai si fondono nell’universo visuale dell’umanità stessa. Una realtà, insomma, che non è destinata a subire la sorte comune delle mode perché, come sosteneva con una bella espressione un mio amico, il rimpianto Marcel-Paul Schutzenberger, i frattali hanno dato vita ad un nuovo stile.
Da notare, inoltre, che la geometria frattale, in ragione della sua straordinaria multidisciplinarietà, continua a produrre fenomeni di un’incredulità che rinasce, di volta in volta, più forte e sotto forme nuove. Ci si chiede, comunque, come sia possibile che la geometria frattale sia in grado di ricoprire tanti ruoli differenti, pur avendo, di fatto, meno di trenta anni di vita (sebbene i primi “protofrattali” siano stati pubblicati circa un secolo fa). Avere dato via a tutto ciò (la fortuna, in buona sostanza, di essere l’uomo di cui c’era bisogno, quando ce n’era bisogno e dove ce n’era bisogno) è un privilegio meraviglioso che deve essere accettato con profonda umiltà.
A partire dal mio libro del 1975 e, soprattutto, dal libro in inglese del 1982, la geometria frattale ha letteralmente spiccato il volo e lo ha fatto in maniera assolutamente spontanea, sebbene io non abbia mai avuto l’impressione di aver “inventato” tutto ciò ex nihilo, anzi ho sempre cercato dei precursori (Gustave Eiffel?) dei quali mi piaceva citare delle frasi senza un ordine particolare, sebbene nessuno tra questi potesse essere considerato come l’ultimo “inventore”. Qual è stata, dunque, la corda che altri hanno teso e che io ho fatto risuonare?
Nel risolvere questo grande mistero una terza sorpresa prende forma e si colloca in cima ai miei lavori. Le mie opere hanno molti lettori e di ogni tipo, cosa che mi ha consentito di ricevere una corrispondenza abbondante ricca di stimoli e di suggerimenti. Bene, il risultato è che nella storia dei frattali il periodo che va dal 1875 al 1925 resta un momento importante, specialistico e ingannevole, nel quale, però, non è possibile scorgere nessun “inizio” definito.
Precisiamo che i frattali sono delle forme tali per cui, indipendentemente dal senso che si vuole dare alle parole, il dettaglio riproduce la parte e la parte riproduce il tutto. Per produrre i frattali alcuni cominciano col tracciare le grandi linee di una figura e poi utilizzano un generatore per aggiungere dei dettagli di volta in volta più piccoli. A tal scopo diviene essenziale avere a disposizione una progressione senza fine, ma si scopre che questa è, di fatto, un’idea familiare ai teologi, come nel caso del Buddismo Zen, ad esempio, dove si ritrova il tema (ripreso anche da Leibniz) della goccia di rugiada all’interno della quale è possibile ritrovare la copia in miniatura di tutto il mondo, compresa la copia delle gocce di rugiada e così via all’infinito. Questa teologia della goccia d’acqua trova un’eco anche in numerosi Mandale tibetani, con le loro serie di Budda di tutte le taglie o anche nella Grande Vague del pittore Hokusai.
Per cambiare di continente e di mestiere, il tema del generatore ripetuto si trova anche nell’universo di Kant (fatto di galassie raggruppate in ammassi, sopra altri ammassi e così all’infinito), nei celebri disegni di “fontane” di Leonardo da Vinci, con i loro tourbillons sovrapposti, nell’Angelo di Gustave Dore, fatto di angeli più piccoli, senza parlare del volto della morte di Salvador Dalì.
Per cambiare ancora di continente, abbiamo potuto recentemente apprendere che molte tradizioni artistiche africane traboccano di frattali di una finezza piena di significati.
Passando agli scritti dei pittori, quali parole più belle di queste di Eugène Delacroix: “Swedenborg pretende, nella sua teoria della natura, ...che i polmoni si compongono di tanti piccoli polmoni, il fegato di tanti piccoli fegati, la milza di tante piccole milze, etc.
Senza essere un grande osservatore, mi sono accorto da molto tempo di questa verità. Sostenevo che i rami dell’albero erano a loro volta dei piccoli alberi completi; dei frammenti di roccia si assomigliano a massi più grandi, delle particelle di terra a degli ammassi di terra. Sono convinto che si possono trovare una gran quantità di queste analogie. Una piuma è composta da un milione di piume”.
Fermiamoci a Swedenborg, le cui parole sono state citate anche da Emerson. Questi non brillava per le proprie conoscenze in campo biologico, ma la sua intuizione secondo la quale il mondo era così strutturato, era il risultato di un’osservazione autentica della realtà. Non si tratta dunque, almeno in questo caso, di un assunto di validità scientifica, poiché dal canto mio mi sono fatto piuttosto portatore di un’opinione, forse distorta, attirando l’attenzione su di un elemento a mio avviso palese: l’idea di auto-similare nasce in maniera spontanea tra gli esseri umani e l’intuizione della frattalità ha da sempre fatto parte del patrimonio dell’umanità, tanto in Asia e in Africa che in Europa.
Un bipede senza piume, dunque, è divenuto un uomo non prima di aver conquistato il fuoco ed aver decorato il proprio corpo, la propria dimora e il proprio tempio, con motivi che si affineranno nel corso del tempo.
Alcuni manufatti, spille o collane contribuiranno alla nascita della geometria che verrà poi codificata da Euclide, per divenire più tardi lo strumento essenziale per molte scienze.
Altri elementi decorativi furono invece messi temporaneamente tralasciati, per partecipare poi, sotto altre spoglie, ad una rivoluzione anti-euclidea in matematica, arrivando a dare forma a degli oggetti che la vecchia geometria e le scienze erano stati costretti a lasciare da parte perché considerati “amorfi” ossia senza nessuna forma che avrebbe potuto consentire l’analisi della natura e la sua successiva sintesi.
Procede così, attraverso i diversi territori del sapere disinteressato, con incursioni nelle arti, l’insieme di una lunga vita scientifica, che finisce per pararsi davanti ai miei occhi assumendo la forma di un anello frattale, partito moltissimo tempo fa dall’arte e, dopo un lungo periplo confuso, ritornato alle proprie origini.

Mandelbrot ha pubblicato con Di Renzo Editore il libro, Nel mondo dei frattali